Notations

(X, Y, Z) - coordonnées géocentriques cartésiennes avec l'axe X toujours orientée sur le méridien zéro de Greenwich.

Les paramètres géométriques de l'ellipsoïde de rotation

a - demi-grande axe

f - aplatissement

b - demi-petit axe, b = a(1 - f)

Ne - grande normale, Ne = a / [1 - e 2 sin 2 (φ)] ½

e - la première excentricité, e = [(a 2 - b 2) / a 2] ½

e'- la deuxième excentricité, e'= [(a 2 - b 2) / b 2] ½

Transformation des coordonnées géographiques (φ, λ, h) en coordonnées cartésiennes géocentriques (X, Y, Z)

X = (Ne + h) cos(φ) cos(λ)

Y = (Ne + h) cos(φ) sin(λ)

Z = [Ne (1 - e 2) + h) sin(φ)

Transformation des coordonnées cartésiennes géocentriques (X, Y, Z) en coordonnées géographiques (φ, λ, h)

La valeur de φ est calculée de manière itérative:

d = (X 2 + Y 2) ½

φini = arctan[Z(1 + e' 2) / d]

φi+1 = arctan{[Z + Ne e 2 sin(φi)] / d} (iterativ)

λ = arctan(Y / X)

h = d / cos(φ) - Ne

Transformations 1D

1. Rotation plan 3D (5 paramètres)

 
XS
YS
ZD
   =  R(α1, α2, 0.0)  ×   
XS
YS
ZS
   +   
TX
TY
TZ
 

Remarque: : Pour déterminer les paramètres des points communs, la méthode des moindres carrés a été appliquée de manière itérative.

2. Translation sur la hauteur (1 paramètre)

TZ = [ ∑i=1..n (ZD - ZS)] / n

Remarque: Dans le cas de la recherche de la meilleure combinaison, on calcule l'écart type comme un écart par rapport à la moyenne.

Transformation 2D

1. Transformation conforme de Helmert en 2D (4 paramètres)

 
XD
YD
   =   m   ×   
cos(R) -sin(R)
sin(R) cos(R)
   ×   
XS
YS
   +   
TX
TY
 

Remarque: Pour déterminer les paramètres des points communs, la méthode des moindres carrés a été appliquée.

2. Transformation conforme de Helmert en 2D avec origine de rotation (6 paramètres)

 
XD
YD
   =   m   ×   
cos(R) -sin(R)
sin(R) cos(R)
   ×   
XS - XO
YS - YO
   +   
TX + XO
TY + YO
 

Remarque: Pour déterminer les paramètres des points communs, la méthode des moindres carrés a été appliquée.

3. Transformation affine en 2D orthogonale (5 paramètres)

 
XD
YD
   =   
mX 0
0 mY
   ×   
cos(R) -sin(R)
sin(R) cos(R)
   ×   
XS
YS
   +   
TX
TY
 

Remarque: Pour déterminer les paramètres des points communs, la méthode des moindres carrés a été appliquée de manière itérative.

4. Transformation affine en 2D non-orthogonale (6 paramètres)

 
XD
YD
   =   
1 ε
0 1
   ×   
mX 0
0 mY
   ×   
cos(R) -sin(R)
sin(R) cos(R)
   ×   
XS
YS
   +   
TX
TY
 

Remarque: Pour déterminer les paramètres des points communs, la méthode des moindres carrés a été appliquée.

Transformations 3D

1. Transformation conforme Helmert en 3D, la méthode Bursa-Wolf (7 ou 15 paramètres)

Cette méthode est la plus utilisée dans les applications géodésiques. Cette méthode a été adoptée en géodésie, car les angles de rotation entre les ellipsoïdes sont très petits. En général, les producteurs de l'équipement GPS utilisent cette méthode pour transformer les coordonnées à partir d'un ellipsoïde à l'autre.

En raison des approximations faites par cette méthode, les angles de rotation ne sont acceptées que pour des valeurs comprises entre -10'' et + 10''. Si vous utilisez la transformation entre deux systèmes de coordonnées que nécessitent des rotations plus grandes que ± 10'', alors nous vous recommandons d'utiliser la méthode de transformation Helmert en 3d avec 7 paramètres.

Les approximations faites pour cette méthode:

sin(dΘ) ≈ dΘ

cos(dΘ) ≈ 1.0

disponible pour des angles de rotation qui sont plus petites que ±10''.

 
XD
YD
ZD
   =  m  ×   
1 -RZ +RY
+RZ 1 -RX
-RY +RX 1
   ×   
XS
YS
ZS
   +   
TX
TY
TZ
 

 

Dans le cas de la transformation avec 15 paramètres temps-dépendante les valeurs des translations et rotations et le facteur d'échelle sont préalablement ajustés avec la valeur de temps.

   TX = TX + δTX (t - t0)

   TY = TY + δTY (t - t0)

   TZ = TZ + δTZ (t - t0)

   RX = RX + δRX (t - t0)

   RY = RY + δRY (t - t0)

   RZ = RZ + δRZ (t - t0)

   S = S + δS (t - t0), m = 1 + S / 106 (S - facteur d’échelle en ppm).

Remarque: Pour déterminer les paramètres des points communs, la méthode des moindres carrés a été appliquée.

2. Transformation conforme Helmert en 3D, la méthode Molodenski-Badekas (10 paramètres)

Cette transformation est similaire à la méthode Bursa-Wolf avec la différence que l'origine de la rotation est déplacée à la proximité des points de transformation. En réduisant la distance entre l'origine de la rotation et les points à transformer par cette méthode, on obtient une précision beaucoup mieux de l'inconnues TX, TY, TZ (translations). La précision absolue de la transformation est meilleure que celle obtenue avec la méthode Bursa-Wolf, mais du point de vue pratique, il n'y a pas de différences entre les points transformés avec les deux méthodes.

Les approximations faites pour cette méthode:

sin(dΘ) ≈ dΘ

cos(dΘ)≈ 1.0

disponible pour des angles de rotation qui sont plus petites que ±10''.

 
XD
YD
ZD
   =  m  ×   
1 -RZ +RY
+RZ 1 -RX
-RY +RX 1
   ×   
XS - XO
YS - YO
ZS - ZO
   +   
TX + XO
TY + YO
TZ + ZO
 

Pour XO = 0.0; YO = 0.0; ZO = 0.0 la transformation devient une transformation Bursa-Wolf à 7 paramètres.

Cette transformation ne supporte pas la transformation inverse.

Remarque: Pour déterminer les paramètres des points communs, la méthode des moindres carrés a été appliquée.

3. Transformation affine en 3D avec 7, 8, 9 ou 15 paramètres

 
XD
YD
ZD
   =  M(mX,mY,mZ)  × 
R(α123)
 ×   
XS
YS
ZS
   +   
TX
TY
TZ
 

Pour la transformation à 7 paramètres mX = mY = mZ, la transformation à 8 paramètres mX = mY.

Cette transformation n'est pas limitée à un angle de rotation de ±10'' comme le sont les méthodes Bursa-Wolf et Molodenski-Badekas.

Dans le cas de la transformation avec 15 paramètres temps-dépendante les valeurs des translations et rotations et le facteur d'échelle sont préalablement ajustés avec la valeur de temps.

   TX = TX + δTX (t - t0)

   TY = TY + δTY (t - t0)

   TZ = TZ + δTZ (t - t0)

   RX = RX + δRX (t - t0)

   RY = RY + δRY (t - t0)

   RZ = RZ + δRZ (t - t0)

   S = S + δS (t - t0), mX = mY = mZ = 1 + S / 106 (S - facteur d’échelle en ppm).

Remarque: Pour déterminer les paramètres des points communs, la méthode des moindres carrés a été appliquée de manière itérative.

4. Transformation affine en 3D avec origine de rotation (12 paramètres)

 
XD
YD
ZD
   =  M(mX,mY,mZ)  × 
R(α123)
 ×   
XS - XO
YS - YO
ZS - ZO
   +   
TX + XO
TY + YO
TZ + ZO
 

Remarque: Pour déterminer les paramètres des points communs, la méthode des moindres carrés a été appliquée de manière itérative.

Le calcul des coefficients de transformation A0, A1, A2, B0, B1, B2 pour la transformation affine en 2D avec 6 paramètres

A0 = TX

B0 = TY

B1 = mY * sin(R)

B2 = mY * cos(R)

A1 = mX*cos(R) + ε * B1

A2 = -mX*sin(R) + ε * B2

Directions de rotation

1. Pour transformations en 2D

rotation2D

2. Pour transformations en 3D

roation3D

Remarque: Si vous utilisez les paramètres déterminés avec d'autres programmes, vérifiez si les angles de rotation correspondent à ces directions de rotation, sinon changer le signe des angles de rotation.

Projections

Les formules avec les projections utilisées dans TransLT ne sont pas présentées dans le présent document en raison de la grande quantité d'informations. Les personnes intéressées peuvent les trouver dans Map Projections - A Working Manual auteur John P. Snyder publié dans l'année1987 par United States Government Printing Office et dans Guidance Remarque Number 7, part 2 - Coordinate Conversions and Transformations including Formulas révisé en Juillet 2012, publié par O.G.P.

Les formules ont été vérifiées selon les tests présentés dans ces deux livres.

Cas particulier pour la projection Oblique Stereographic - calcule avec coefficients constants

Conversion directe (φ, λ) en (N, E)

f  = 10 -4 (φ - φ0)''

g = 10 -4 (λ - λ0)''

F  =   
f0
f1
f2
f3
f4
f5
f6
   ; 
Ga  =   
g0
g2
g4
g6
 
 ;  Gb  = 
 
g1
g3
g5
g7
 

ΔN = j=0..3 {∑i=0..6 [F(i) × a(i, j)] × Ga(j)}

ΔE = j=0..3 {∑i=0..6[F(i) × b(i, j)] × Gb(j)}

N = FN + ΔN × k

E = FE + ΔE × k

Conversion inverse (N, E) en (φ, λ)

f  = 10-5(N - FN) / k

g = 10-5(E - FE) / k

F  =   
f0
f1
f2
f3
f4
f5
f6
   ; 
Ga  =   
g0
g2
g4
g6
 
 ;  Gb  = 
 
g1
g3
g5
g7
 

Δφ'' = Σj=0..3 i=0..6 [F(i) × a(i, j)] × Ga(j)}

Δλ'' = Σj=0..3 i=0..6 [F(i) × b(i, j)] × Gb(j)}

φ = φ0 + Δφ''/3600

λ = λ0 + Δλ''/3600

Transformations polynomiales

Les formules pour tous les types de transformations polynomiales utilisés dans TransLT peuvent être trouvés dans Guidance Note Number 7, part 2 - Coordinate Conversions and Transformations including Formulas révisé en Juillet 2012, publié par O.G.P.

Les formules ont été vérifiées selon les tests présentés dans ce document.

Translations des coordonnées

Les formules pour tous les méthodes de translation de coordonnées utilisés dans TransLT peuvent être trouvés dans Guidance Note Number 7, part 2 - Coordinate Conversions and Transformations including Formulas révisé en Juillet 2012, publié par O.G.P.

Les formules ont été vérifiées selon les tests présentés dans ce document.